3.3 : La fonction d'utilité
| Site: | ZERUN |
| Cours: | Microéconomie 1 |
| Livre: | 3.3 : La fonction d'utilité |
| Imprimé par: | Visiteur anonyme |
| Date: | jeudi 21 novembre 2024, 19:00 |
1. Une représentation plus commode
Il est difficile de manipuler les relations d'ordre. Il est beaucoup plus commode d'utiliser des fonctions de nombres. Cela permettra de comparer facilement des nombres entre eux en utilisant les relations ≥ classiques.
Si la relation \( \succeq \) est rationnelle (complète et transitive) et continue, alors il existe une fonction U(.) continue qui représente cette relation.
C’est un indice, construit pour représenter un classement parmi des paniers de biens.
La fonction U(x), définie sur A, représente \( \succeq \) si,
pour tout x et y dans A,
x \( \succeq \) y équivaut à U(x) ≥ U.
Cela veut dire que le classement donné par la relation de préférence entre des paniers de biens est exactement le même que le classement des valeurs prises par la fonction U sur les vecteurs modélisant ces paniers de bien.
On dit alors que U(.) est une fonction d’utilité représentant la relation de préférence \( \succeq \).
2. Des propriétés de la fonction d'utilité
Les hypothèses que l'on fait sur la relation \( \succeq \) correspondent à des propriétés de U(x) :
3. Une représentation ordinale
La relation de préférence est ordinale (elle donne simplement un classement). C'est donc le cas aussi d'une fonction d'utilité qui la représente :
Si U(x) est une fonction d’utilité représentant \( \succeq \), toute fonction f(U(x)), où f est une fonction (de l'ensemble des réels vers l'ensemble des réels) strictement croissante,
est aussi une fonction d’utilité représentant \( \succeq \).
On dit que la fonction d’utilité U(x) est ordinale.
Question : Combien existe-t-il donc de fonctions d'utilité pour représenter une relation de préférences, quand il en existe au moins une ?...
Réponse : Vous avez réfléchi ? Une infinité puisqu'on peut trouver une infinité de transformations croissantes de la première fonction d'utilité qu'on trouve.
Par exemple, si U(.) en est une, alors 3 U(.) + 12 marche aussi. Ainsi que bien d'autres transformations. Je vous laisse vérifier...
4. Quelques exemples de transformation ordinale
Ce point est assez important pour être répété : Le terme "utilité" ne renvoie qu’à un indice permettant le classement, pas à une mesure du bien-être.
- En multipliant les nombres U(x), pour chacun des paniers de consommation x, par ½, par 4, par 50, ou par 1/100, par exemple, on obtient une nouvelle fonction d’utilité, qui représente exactement les mêmes préférences.
- De même en prenant le carré de U(x). Ou toute autre transformation continue croissante.
[Une nuance pour plus tard : Le rôle de la fonction d'utilité change quand on est en "équilibre partiel", c'est-à dire quand on regarde le choix entre une quantité d'un seul bien (par exemple des kilos d'oranges) et l'argent (qui représente tout ce qu'on peut obtenir d'autre que des oranges).]
5. L'utilité marginale d'un bien
L’utilité marginale d’un bien est la variation de l’utilité totale pour une variation infiniment petite (infinitésimale) de la quantité consommée.
Si je consomme une unité (extrêmement petite) en plus d’aliments, par exemple, sans changer ma consommation des autres biens, de combien est-ce que mon utilité va augmenter ?
Cette valeur est très importante puisque je vais
pouvoir la comparer au prix de cette unité extrêmement petite. Intuitivement,
si cette unité me coûte (en prix) moins cher que ce qu’elle me rapporte
(l’augmentation de mon utilité, c’est-à dire l’utilité marginale), cela vaut la peine
d’acheter (le choix effectué par le consommateur est plus compliqué, puisqu'il faut choisir la composition du panier avec tous les biens. Mais cette intuition reste utile).
Mathématiquement, l’utilité marginale du bien k est la dérivée de la fonction d’utilité U par rapport à la quantité de bien k, xk : Umk (x) = ∂U(x) / ∂xk.