Title: Défaut pour Mt + N / Mt + Mf

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L'étude porte sur la vérification d'une potence de levage dont on donne ci-dessous une photo ainsi que le modèle de calcul.

[Image]      [Image]

Paramètres du problème :

- L_1 : hauteur du fut de la potence
- L_2 : déport latéral potence
- D : Diamètre extérieur du fut
- e : épaisseur du fut
- F : force supportée par le palan

Q: Les valeurs des paramètres précédents sont :

- L_1 = 3 m
- L_2 = {L} m
- D = {D}0 cm
- e = {e} mm
- F = {F} kN

Calculez le moment fléchissant maximum |Mf|_max supporté dans la zone OA du fut (en valeur absolue et en Nm) :
A: {L}*{F}*1000 (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Indice 1/2 : Le moment fléchissant est constant dans toute la zone OA. On peut rapidement calculer le moment fléchissant par la méthode du bras de levier. Le bras de levier est perpendiculaire au support de la force, c'est donc ici une distance horizontale.
  Hint: Indice 2/2 : Le bras de levier est la distance AB.

Q: Calculez l'effort normal |N| dans la zone OA du fut (en valeur absolue et en N) :
A: {F}*1000
  Hint: Indice 1/2 : L'effort normal est ici l'effet de compression sur la zone OA induit par la force à distance en B.
  Hint: Indice 2/2 : L'effort normal est bien négatif mais on demande ici la valeur absolue.

Q: Calculez |σ|_N la contrainte normale induite par l'effort normal (en valeur absolue et en MPa) :
A: 1000*{F}*4/(pi()*({D}*100*{D}*100-({D}*100-2*{e})*({D}*100-2*{e})))
  Hint: Indice 1/2 : On rappelle la formule pour calculer la contrainte normale induite par l'effort normal (traction/compression) : [Image]
  Hint: Indice 2/2 : Pour le choix des unités : - Contrainte normale en MPa = N/mm^2 - Effort normal en N - Section en mm^2

Q: Calculez |σ|_Mf la contrainte normale induite par le moment fléchissant (en valeur absolue et en MPa) :
A: {F}*1000*{L}*1000*64/(pi()*(pow({D}*100,4)-pow({D}*100-2*{e},4)))*{D}*100/2
  Hint: Indice 1/2 : On rappelle la formule de la contrainte normale en flexion : [Image] Pour la contrainte max on se place pour y_max
  Hint: Indice 2/2 : Pour le choix des unités : - Contrainte en MPa = N/mm^2 - Moment fléchissant en N.mm - Moment quadratique en mm^4 - y en mm

Q: On souhaite un coefficient de sécurité de 2 sur les contraintes.

Calculez la limite élastique minimale Re_mini (en MPa) requise par le matériau pour respecter le critère de résistance :
A: 2*{F}*1000*{L}*1000*64/(pi()*(pow({D}*100,4)-pow({D}*100-2*{e},4)))*{D}*100/2
  Hint: Indice 1/2 : Par principe de superposition la contrainte normale sous N +Mf sera : [Image]
  Hint: Indice 2/2 : On rappelle le critère de résistance à appliquer : [Image]

Q: On considère une poutre (OAB) coudée encastrée en O de longueur L=100mm et soumise à un effort vertical F={F}N appliqué au point B et dirigé vers le bas.

La section de la poutre (OA) est circulaire de diamètre d=10mm.

[Image]

Calculez la contrainte équivalente de Von-Mises maximale en MPa (on néglige les effets de l'effort tranchant) :
A: {F}*800/(3.1416*1000)*4.3589 (formula; values not in the backup's text)
  Hint: Indice 1/2 : La section la plus sollicitée est à l'encastrement en O (point le plus éloigné de F, donc bras de levier les plus grands).
  Hint: Indice 2/2 : - Mt = - F.L/2 - Mf_z = - F.L

Q: Soit une section droite en sollicitations composées N + Mt.

On associe à cette section le repère local (x;y;z) suivant :

[Image]

En un point P quelconque de cette section droite :
- l'effort normal N génère | de la contrainte normale portée par l'axe local x
- le moment de torsion Mt génère | de la contrainte tangentielle contenue dans le plan (y;z)
Also offered: de la contrainte normale contenue dans le plan (y;z); de la contrainte tangentielle portée par l'axe local x
If partly right: N génère de la contrainte normale portée par l'axe local x. [Image] Mt génère de la contrainte tangentielle contenue dans le plan (y;z). [Image]
  Hint: Indices 1/2 : Les termes "normal" et "tangentiel" s'entendent par rapport à l'orientation de la section dont la normale est l'axe x
  Hint: Indice 2/2 : Une contrainte suivant x est donc normale et une contrainte perpendiculaire à x est donc tangentielle

Q: On suppose une section circulaire pleine sollicitée par un moment de flexion et un moment de torsion de mêmes intensités.

Quel est le moment le plus pénalisant pour la résistance de cette section si on utilise la contrainte équivalente de Von Mises ?
- Le moment de flexion
- Le moment de torsion
- Aucun des deux n'est plus pénalisant que l'autre (égalité)
A: Le moment de flexion
Feedback: L'application de la formule de la contrainte équivalente de Von Mises montre que le poids de la contrainte normale due au moment de flexion est supérieur au poids de la contrainte tangentielle due au moment de torsion.
  Hint: Indice 1/2 : Effet des sollicitations : - moment de flexion Mf → contrainte normale σ - moment de torsion Mt → contrainte tangentielle τ Utilisez la contrainte équivalente de Von Mises ou de Tresca et comparer les parts induites par Mf et Mt.
  Hint: Indice 2/2 : Utilisez la contrainte équivalente de Von Mises et remonter aux parts induites par Mf et Mt.

Q: Soit une section droite en sollicitation composée Mf_z+ Mt.

Mf_z > 0 et Mt > 0.

 [Image]

Le ou les points les plus sollicités sont :
- P1
- P2
- P3
- P4
A: P1; P3
Feedback: On doit superposer vectoriellement : - σ_Mf : les contraintes normales (de direction axiale) dues au moment de flexion - τ_Mt : les contraintes tangentielles (de direction radiale) dues au moment de torsion ce qui donne : [Image] Ainsi les points les plus sollicités sont P1 et P3.
  Hint: Indice 1/2 : Superposez vectoriellement : - σ_Mf : les contraintes normales (de direction axiale, suivant x) dues au moment de flexion - τ_Mt : les contraintes tangentielles (de direction radiale) dues au moment de torsion
  Hint: Indice 2/2 : La contrainte tangentielle due à la torsion est la même pour tous les points à la périphérie proposés. Seule la contrainte normale due au moment de flexion est différente d'un point à un autre.

Q: Soit une section droite en sollicitation composée N+ Mt.

N > 0 et Mt > 0.

 [Image]

Le ou les points les plus sollicités sont :
- P1
- P2
- P3
- P4
A: P1; P2; P3; P4
Feedback: On doit superposer vectoriellement : - σ_N : les contraintes normales (de direction axiale) dues à l'effort normal - τ_Mt : les contraintes tangentielles (de direction radiale) dues au moment de torsion ce qui donne : [Image] Tous les points à la périphérie (dont font parti P1, P2, P3, P4) subissent le meme état de contrainte maximal.
  Hint: Indice 1/2 : Superposer vectoriellement : - σ_N : les contraintes normales (de direction axiale) dues à l'effort normal - τ_Mt : les contraintes tangentielles (de direction radiale) dues au moment de torsion
  Hint: Indice 2/2 : L'effort normal génère une contrainte normale uniforme en tout point de la section. Le moment de torsion génère une contrainte tangentielle de direction radiale et d'intensité constante pour un rayon donné.