Title: Défaut pour Elasticité - Contraintes

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Q: Soit la matrice des contraintes du cube dans le repère principal [Image]

On donne ci-dessous le tri-cercle de Mohr associé à l'état de contrainte de ce cube :

[Image]

Dans quel plan se situe la contrainte tangentielle maximale subie par le cube ? Dans le plan [...]

Donnez la valeur de ce cisaillement maxi (en MPa) :

[Image]_MAX = [...] MPa

Calculez alors la contrainte équivalente de Tresca (contrainte que l'on peut ensuite comparer à Re lors d'un dimensionnement) :

σ_Tresca = [...] MPa
A: (III;I); 220.5; 441
Gap 1 offers: (x;y); (y;z); (z;x); (I;II); (II;III); (III;I)
Feedback: Le cisaillement maxi [Image]_MAX se lit graphiquement sur le plus grand cercle, il est donc localisé dans le plan (I;III). [Image] Ensuite, par définition σ_TRESCA = 2 [Image]_MAX
  Hint: Indice 1/2 : Prendre le cercle qui maximise la contrainte tangentielle pour calculer .
  Hint: Indice 2/2 : Lorsqu'on parcourt un cercle, cela correspond à effectuer une rotation du cube dans le plan des 2 directions principales associées aux contraintes principales qui fixent le diamètre du cercle.

Q: On donne la matrice de l'état de contrainte du cube dans le repère principal [Image]

Calculer la contrainte équivalente de Von Mises :

σ_Von Mises = [...] MPa
A: 387
  Hint: Indice 1/2 : Utiliser la formulation de la contrainte équivalente de Von Mises dans le repère principal. Attention : ne pas utiliser la formulation dans le cas des poutres ( σ_éq VM = [Image] )
  Hint: Indice 2/2 : Calcul de la contrainte équivalente de Von Mises (en fonction des contraintes principales) : σ_éq VM = [Image]

Q: D'après les résultats des 2 questions précédentes, quelle contrainte équivalente est la plus sécuritaire ?
- la contrainte équivalente de Tresca
- la contrainte équivalente de Von Mises.
A: la contrainte équivalente de Tresca
Feedback: Soit le critère de résistance vis-à-vis de Re [Image] Plus on maximise σ, plus on calcule un Cs petit , on est donc ainsi plus pessimiste (ou sécuritaire). D'une manière générale σ_Tresca > σ_Von Mises donc la contrainte équivalente de Tresca est plus pessimiste (ou sécuritaire) que celle de Von Mises.
  Hint: Indice 1/1 : Soit le critère de résistance vis-à-vis de Re [Image] Plus on maximise σ, plus on calcule un Cs petit , on est donc ainsi plus pessimiste (ou sécuritaire).

Q: On se propose de comparer plusieurs états de contraintes (dans leur repère principal) en terme de résistance.

Pour chaque état proposé, calculez la contrainte équivalente de Tresca :

Etat A : [Image]    σ _Tresca = [...]

Etat B : [Image]   σ _Tresca = [...]

Etat C : [Image]   σ_ Tresca = [...]

Etat D : [Image]     σ _Tresca = [...]

Etat E : [Image]    σ _Tresca = [...]

L'état de contrainte le plus dangereux est donc le [...]
A: 100; 100; 100; 200; 100; D
Gap 6 offers: A; B; C; D; E
  Hint: Indice 1/2 : Rappel de la contrainte équivalente de Tresca : [Image]
  Hint: Indice 2/2 : Attention aux signes des différentes contraintes principales lors de l'application de la formule de la contrainte équivalente de Tresca. [Image]

Q: On considère l'état de contrainte uni-axial (dans le repère principal) suivant en un point d'une structure :

[Image]

Pour cet état de contrainte, calculez les différentes contraintes équivalentes suivantes :

- σ_ Tresca = [...]
- σ_ Von Mises = [...]
- σ_ Rankine = [...]

Pour être le plus sécuritaire, quel critère doit-on retenir ? [...]

Le matériau a une limite élastique Re = 400 MPa. Calculez le coefficient de sécurité : Cs = [...]
A: 200; 200; 200; une des 3, peu importe, car les 3 contraintes sont ici équivalentes; 2
Gap 4 offers: Tresca uniquement; Von Mises uniquement; Rankine uniquement; une des 3, peu importe, car les 3 contraintes sont ici équivalentes
  Hint: Indice 1/2 : On rappel les formules de calcul des différentes contraintes équivalentes dans le repère principal : [Image]
  Hint: Indice 2/2 : Une approche sécuritaire consiste à être pessimiste et maximiser les risques. Prendre donc la contrainte équivalente la plus dangereuse (la plus élevée).

Q: On considère l'état de contrainte bi-axial (dans le repère principal) suivant en un point d'une structure :

[Image]

Pour cet état de contrainte, calculez les différentes contraintes équivalentes suivantes :

- σ_ Tresca = [...]
- σ_ Von Mises = [...]
- σ_ Rankine = [...]

Pour être le plus sécuritaire, quel critère doit-on retenir ? [...]

Le matériau a une limite élastique Re = 600 MPa. Calculez le coefficient de sécurité : Cs = [...]
A: 400; 346; 200; Tresca uniquement; 1.5
Gap 4 offers: Tresca uniquement; Von Mises uniquement; Rankine uniquement; une des 3, peu importe, car les 3 contraintes sont ici équivalentes
  Hint: Indice 1/2 : On rappel les formules de calcul des différentes contraintes équivalentes dans le repère principal : [Image]
  Hint: Indice 2/2 : Une approche sécuritaire consiste à être pessimiste et maximiser les risques. Prendre donc la contrainte équivalente la plus dangereuse (la plus élevée).

Q: On considère l'état de contrainte tri-axial (dans le repère principal) suivant en un point d'une structure :

[Image]

Pour cet état de contrainte, calculez les différentes contraintes équivalentes suivantes :

- σ_ Tresca = [...]
- σ_ Von Mises = [...]
- σ_ Rankine = [...]

Pour être le plus sécuritaire, quel critère doit-on retenir ? [...]

Le matériau a une limite élastique Re = 600 MPa. Calculez le coefficient de sécurité : Cs = [...]
A: 0; 0; 400; Rankine uniquement; 1.5
Gap 4 offers: Tresca uniquement; Von Mises uniquement; Rankine uniquement; une des 3, peu importe, car les 3 contraintes sont ici équivalentes
  Hint: Indice 1/2 : On rappel les formules de calcul des différentes contraintes équivalentes dans le repère principal : [Image]
  Hint: Indice 2/2 : Une approche sécuritaire consiste à être pessimiste et maximiser les risques. Prendre donc la contrainte équivalente la plus dangereuse (la plus élevée).

Q: Quelles formulations sont justes :
- La contrainte équivalente de Von Mises est toujours plus sécuritaire devant celle de Tresca (Non , c'est l'inverse. Numériquement σ _Tresca ≥ σ _Von Mises Ainsi Tresca a tendance à maximiser les risques devant Von Mises.)
- En état de contrainte uni-axial, on peut directement comparer la contrainte principale à l'essai de traction (Re ou Rm) (Effectivement dans ce cas simple, les contraintes équivalentes n'apportent pas grand chose. Elles renvoient la valeur de la seule contrainte principale non-nulle (avec une valeur absolue).)
- En état de contrainte bi-axial, la contrainte équivalente de Rankine est toujours la plus sécuritaire (Cela dépend des cas. Cette affirmation est vraie si et seulement si les 3 contraintes principales sont de même signe (toutes 3 positives ou toutes 3 négatives).)
- La contrainte équivalente (issue d'un état de contrainte bi-axial ou tri-axial) permet de se ramener à un état de contrainte uni-axial équivalent que l'on peut ensuite comparer à un essai de traction (lui-même uni-axial).
- L'utilisation d'une contrainte équivalente de type Tresca / Von Mises / Rankine permet de différencier un état de contrainte comprimé ou tendu. (Chacune des formulations calcule une contrainte en valeur absolue ne permettant plus d'interpréter le signe de la contrainte normale et de faire donc la différence entre un état "comprimé" ou "tendu" comme on pourrait le faire pour une poutre sollicitée en traction ou compression. [Image])
A: En état de contrainte uni-axial, on peut directement comparer la contrainte principale à l'essai de traction (Re ou Rm); La contrainte équivalente (issue d'un état de contrainte bi-axial ou tri-axial) permet de se ramener à un état de contrainte uni-axial équivalent que l'on peut ensuite comparer à un essai de traction (lui-même uni-axial).
  Hint: -
  Hint: -

Q: On considère l'état de contrainte tri-axial (dans le repère principal) suivant en un point d'une structure :

[Image]

Pour cet état de contrainte, calculez les différentes contraintes équivalentes suivantes :

- σ_ Tresca = [...]
- σ_ Von Mises = [...]
- σ_ Rankine = [...]

Pour être le plus sécuritaire, quel critère doit-on retenir ? [...]

Le matériau a une limite élastique Re = 800 MPa. Calculez le coefficient de sécurité : Cs = [...]
A: 600; 529; 400; Tresca uniquement; 1.33
Gap 4 offers: Tresca uniquement; Von Mises uniquement; Rankine uniquement; une des 3, peu importe, car les 3 contraintes sont ici équivalentes
  Hint: Indice 1/2 : On rappel les formules de calcul des différentes contraintes équivalentes dans le repère principal : [Image]
  Hint: Indice 2/2 : Une approche sécuritaire consiste à être pessimiste et maximiser les risques. Prendre donc la contrainte équivalente la plus dangereuse (la plus élevée).

Q: On considère l'état de contrainte bi-axial suivant en un point d'un matériau.

[Image]

Quelle contrainte équivalente la plus adaptée choisiriez-vous pour vérifier la résistance, en fonction des matériaux proposés ci-dessous ?
- Acier | Von Mises
- Aluminium | Von Mises
- Titane | Von Mises
- ABS (plastique) | Tresca
- Céramique | Tresca
- Résine | Tresca
  Hint: Indice 1/2 : La contrainte équivalente de Von Mises est certes moins sécuritaire que celle de Tresca mais plus proche du comportement réel pour les matériaux ductiles
  Hint: Indice 2/2 : Un matériau fragile est un matériau dont le domaine plastique est quasi-inexistant (comme pour le verre).