Title: Défaut pour Elasticité - Contraintes

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Q: On considère le cube unitaire de matière associé au repère (x;y;z) suivant [Image]

On propose ci-dessous plusieurs déformations possibles de ce cube :

[Image] Déformation A | [Image] Déformation B | [Image] [Image] Déformation C
[Image] Déformation D | [Image] Déformation E | [Image] [Image] Déformation F
- La déformation A est | uniquement de type longitudinale
- La déformation B est | uniquement de type longitudinale
- La déformation C est | uniquement de type transversale
- La déformation D est | uniquement de type longitudinale
- La déformation E est | uniquement de type longitudinale
- La déformation F est | uniquement de type transversale
Also offered: de type longitudinale et transversale
  Hint: Indice 1/2 : Une déformation longitudinale correspond à une variation de longueur. Une déformation transversale correspond à une variation d'angle (déformation en losange).
  Hint: Indice 2/2 : Aucune des déformations proposées combine à la fois les déformations longitudinale et transversale.

Q: On considère le cube unitaire de matière associé au repère (x;y;z) suivant [Image]

On propose ci-dessous plusieurs déformations possibles de ce cube :

[Image] Déformation A | [Image] Déformation B | [Image] [Image] Déformation C
[Image] Déformation D | [Image] Déformation E | [Image] [Image] Déformation F
- La matrice des déformations [Image]correspond au cube déformé | A
- La matrice des déformations [Image]correspond au cube déformé | B
- La matrice des déformations [Image]correspond au cube déformé | C
- La matrice des déformations [Image]correspond au cube déformé | D
- La matrice des déformations [Image]correspond au cube déformé | E
- La matrice des déformations [Image]correspond au cube déformé | F
  Hint: Indice 1/2 : Les termes sur la diagonale caractérisent les variations de longueur.
  Hint: Indice 2/2 : Les termes en dehors de la diagonale caractérisent les variations d'angle.

Q: On considère la matrice des déformations suivante [Image]

La facette de normale x subit :

- une déformation longitudinale ε_xx = [...]
- une déformation transversale ε_xy = [...]

La facette de normale y subit :

- une déformation longitudinale ε_yy = [...]
- une déformation transversale ε_yx = [...]

La facette de normale z subit :

- une déformation longitudinale ε_zz = [...]
- une déformation transversale ε = [...]

Peut-on considérer l'état de déformation de ce cube comme "plan" ? [...]
Dans quel plan observe-t-on de la distorsion ? [...]
A: 0.25; 0.5; 0.25; 0.5; -0.5; 0; NON; plan (x;y)
Gap 7 offers: OUI; NON
Gap 8 offers: plan (x;y); plan (y;z); plan (z;x)
  Hint: Indice 1/2 : Les termes sur la diagonale correspondent à des déformations longitudinales
  Hint: Indice 2/2 : Première colonne : déformation sur la facette de normale x Deuxième colonne : déformation sur la facette de normale y Troisième colonne : déformation sur la facette de normale xz

Q: On considère toujours la matrice des déformations [Image]

On rappelle le cercle de Mohr correspondant :

[Image]

Par lecture graphique, donnez les valeurs des 3 déformations principales ( ε_I > ε_I_I > ε_III ) associées à cette matrice :

- ε_I = [...] MPa
- ε_II = [...] MPa
- ε_III = [...] MPa

On note α_0 l'angle de rotation entre le repère (x;y;z) et le repère principal (I;II;III) : [Image]

Par lecture graphique sur le cercle de Mohr, α_0 = [...] °

Dans ce repère principal :

- la matrice des déformations devient [...].
- les déformations [...] sont toutes nulles.
A: 0.75; -0.25; -0.5; 45; diagonale; transversales
Gap 5 offers: diagonale; anti-symétrique; symétrique; transposable; carrée
Gap 6 offers: longitudinales; transversales; longitudinales et transversales
  Hint: Indice 1/2 : On cherche l'angle physique associé sur le cercle de Mohr au passage du point P_x au point P_I [Image] Mais attention : on tourne à l'envers et 2 fois plus vite sur le cercle de Mohr ! L'angle que l'on mesure entre P_x et P_I_ vaut donc -2α_0
  Hint: Indice 2/2 : On peut aussi calculer tous les éléments principaux (déformations et angle) analytiquement mais c'est plus long ! Voir formules de cours.

Q: On considère le cube unitaire de matière associé au repère (x;y;z) suivant [Image]

On propose ci-dessous plusieurs déformations possibles de ce cube :

[Image] Déformation A | [Image] Déformation B | [Image] [Image] Déformation C
[Image] Déformation D | [Image] Déformation E | [Image] [Image] Déformation F

Pour quelles déformations les axes du repère principal (I;II;III) sont confondus avec ceux du repère (x;y;z) ?
- Déformation A
- Déformation B
- Déformation C
- Déformation D
- Déformation E
- Déformation F
A: Déformation A; Déformation B; Déformation D; Déformation E
  Hint: Indice 1/2 : Dans le repère principal des déformations, la matrice des déformations est diagonale.
  Hint: Indice 2/2 : Dans le repère principal des déformations, le cube ne subit que de la déformation longitudinale.

Q: On considère la matrice des déformations suivante [Image]

Quel cercle de Mohr est associé à l'état de déformation dans le plan (x;y) ?
- [Image]
- [Image] (Le cercle est bien le bon mais Px et Py sont mal situés.)
- [Image] (Le cercle n'est pas centré par rapport à l'axe des abscisses !)
- [Image] (Le cercle n'est pas centré par rapport à l'axe des abscisses !)
A: [Image]
  Hint: Indice 1/2 : Un cercle de Mohr est toujours centré sur l'axe des abscisses. L'axe des ordonnées est ici dirigé vers le haut.
  Hint: Indice 2/2 : Attention au signe de l'ordonnée du point Py : signe à changer par rapport à la valeur de la matrice.