Title: Défaut pour Elasticité - Contraintes

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Q: On étudie un élément fini cubique extrait d'une structure (voir méthode des éléments finis).

On lui associe une base (x,y,z) et on donne la matrice des contraintes (en MPa) dans ce même repère :

[Image]              [Image]

La facette de normale x subit :

- une contrainte normale σ_x = [...] MPa
- une contrainte tangentielle [Image]_xy = [...] MPa

La facette de normale y subit :

- une contrainte normale σ_y = [...] MPa
- une contrainte tangentielle [Image]_yx = [...] MPa

La facette de normale z subit :

- une contrainte normale σ_z = [...] MPa
- une contrainte tangentielle [Image] = [...] MPa

Peut-on considérer l'état de contrainte de ce cube comme "plan" ? [...]
Si oui, dans quel plan ? [...]
A: 200; 100; 400; 100; 0; 0; OUI; plan (x;y)
Gap 7 offers: OUI; NON
Gap 8 offers: plan (x;y); plan (y;z); plan (z;x)
  Hint: Indice 1/2 : Les contraintes normales associées à chaque facette sont toutes sur la diagonale.
  Hint: Indice 2/2 : Chaque colonne correspond à un état de contrainte respectivement sur la facette de normale x, y puis z.

Q: Rappel : [Image]

Calculez les valeurs des 3 contraintes principales ( σ_I > σ_I_I > σ_III ) associées à cette matrice :

- σ_I = [...] MPa
- σ_II = [...] MPa
- σ_III = [...] MPa
A: 441.42; 158.58; 0
  Hint: Indice 1/2 : L'ordre de grandeur des contraintes principales peut se lire sur le cercle de Mohr : valeurs à l'intersection du cercle avec l'axe des abscisses. [Image]
  Hint: Indice 2/2 : Formule à utiliser : [Image]

Q: L'axe III est donc confondu avec l'axe [...] et le repère (I;II;III) se déduit du repère (x;y;z) en effectuant une rotation autour de l'axe [...].
A: z; z
Gap 1 offers: x; y; z
Gap 2 offers: x; y; z
  Hint: Indice 1/2 : La matrice des contraintes fait apparaitre un état de contrainte dans le plan (x;y).
  Hint: Indice 2/2 : σ_zz = σ_III = 0 donc les axes z et III sont confondus.

Q: On rappelle ci-dessous le cercle de Mohr associé à l'état de contrainte [Image]

[Image]

On note α_0 l'angle de rotation entre le repère (x;y;z) et le repère principal (I;II;III) : [Image]

Donnez sa valeur en degré par lecture graphique sur le cercle de Mohr : α_0 = [...] °
A: 67.5
Feedback: On peut aussi calculer cet angle analytiquement. Formule de cours à utiliser : [Image]
  Hint: Indice 1/2 : On cherche l'angle physique associé sur le cercle de Mohr au passage du point P_x au point P_I
  Hint: Indice 2/2 : Attention, on tourne à l'envers et 2 fois plus vite sur le cercle de Mohr ! L'angle que l'on mesure entre P_x et P_I_ vaut donc -2α_0_

Q: On considère toujours la même matrice des contraintes : [Image]

Choisissez la figure du cube représentant les contraintes associées à cette matrice :
- [Image]
- [Image] (Cette figure représente des contraintes normales sur les facettes de normale x et y négatives.)
- [Image] (Sur cette figure, on a [Image] négatif sur les 2 facettes de normale x et y.)
- [Image] (Attention aux directions des vecteurs contraintes.)
A: [Image]
  Hint: Indice 1/2 : Les facettes de normale x et y subissent toutes 2 une contrainte normale σ > 0 (traction)
  Hint: Indice 2/2 : Les facettes de normale x et y subissent toutes 2 une contrainte tangentielle [Image] > 0

Q: On considère toujours la même matrice des contraintes [Image]

Quel cercle de Mohr correspond à l'état de contrainte dans le plan (x;y) ?
- [Image]
- [Image] (Les coordonnées de Py se lisent dans la deuxième colonne : - l’abscisse du point Py se lit sur la diagonale de la matrice - l'ordonnée correspond à l'autre valeur (au signe près !))
- [Image] (Le cercle est bien le bon mais Py est mal situé.)
- [Image] (Py est mal situé et le cercle est décentré par rapport à l'axe des abscisses.)
A: [Image]
  Hint: Indice 1/2 : Un cercle de Mohr est toujours centré sur l'axe des abscisses. L'axe des ordonnées est ici dirigé vers le haut.
  Hint: Indice 2/2 : 2 facettes adjacentes d'un cube (Px et Py ici) sont toujours diamétralement opposées sur le cercle.

Q: On donne la matrice des contraintes (en MPa) du cube dans le repère principal [Image]

Quelle figure représente l'état de contrainte du cube pris dans ce repère principal ?
- [Image]
- [Image] (N'avez-vous pas interverti les axes I et II ?)
- [Image] (Attention aux directions des vecteurs : cette figure fait apparaitre des contraintes normales de compression ( σ < 0 ))
- [Image] (Dans le repère principal n'apparaissent que des contraintes normales. Les facettes ne subissent plus de contrainte tangentielle.)
A: [Image]
  Hint: Indice 1/2 : Dans le repère principal, seules des contraintes normales à chaque facette apparaissent.
  Hint: Indice 2/2 : Interprétation des termes de la matrice : - σ_I = 441 MPa - σ_II = 159 MPa

Q: Pour chacun de ces états de contraintes proposées, classifiez sa caractéristique :

[Image] [...]

[Image][...]

[Image][...]

[Image][...]

[Image][...]

[Image][...]

[Image][...]

[Image][...]

[Image][...]
A: Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 3D; Etat de contraintes 3D; Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 1D suivant x
Gap 1 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
Gap 2 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
Gap 3 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
Gap 4 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
Gap 5 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
Gap 6 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
Gap 7 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
Gap 8 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
Gap 9 offers: Etat de contraintes 1D suivant x; Etat de contraintes 1D suivant y; Etat de contraintes 1D suivant z; Etat de contraintes 2D dans le plan (x;y); Etat de contraintes 2D dans le plan (y;z); Etat de contraintes 2D dans le plan (z;x); Etat de contraintes 3D
  Hint: Indice 1/2 : Etat de contrainte 1D = une seule contrainte principale non-nulle Etat de contrainte 2D = 2 contraintes principales non-nulles Etat de contrainte 3D = 3 contraintes principales non-nulles
  Hint: Indice 2/2 : L'intersection d'une ligne de zéros avec une colonne de zéros correspond à une contrainte principale nulle.

Q: On donne le tri-cercle de Mohr suivant d'un état de contrainte en un point P :

[Image]

Quelles matrices des contraintes peuvent correspondre à cet état contrainte ?
- [Image]
- [Image]
- [Image]
- [Image]
- [Image] (Attention au repère d'expression !)
- [Image]
- [Image] (Attention à la correspondance des contraintes principales avec les axes.)
- [Image] (Attention à la correspondance des contraintes principales avec les axes.)
A: [Image]; [Image]
  Hint: Indice 1/2 : Attention à la caractérisation de l'état de contrainte qui dépend du repère d'expression : - (x;y;z) - (I;II;III)
  Hint: Indice 2/2 : Px et Py correspondent aux états de contrainte respectivement sur des facettes de normale x et y d'un repère (x;y;z). P_I P_II et P_III correspondent aux états de contrainte sur les facettes respectives des axes d'un repère (I;II;III)

Q: On considère une poutre sollicitée en flexion/torsion avec le champ de répartition des contraintes associés suivant :

[Image]

On donne les valeurs suivantes des contraintes engendrées par chaque sollicitation :

- Moment fléchissant Mf_z > 0 → |σ|_max= 200 MPa
- Moment de torsion Mt > 0 → | [Image]|_max= 100 MPa

Complétez la matrice des contraintes au point critique P :
  Hint: Indice 1/2 : Commencez par caractériser l'état de contraintes sur la facette de normale x (première colonne). On tiendra ensuite compte de la propriété de symétrie de la matrice.
  Hint: Indice 2/2 : La facette de normale y (au point P) est sur l'extérieure et libre. Les contraintes y sont nulles. Dans le cadre de la théorie des poutres, il ne peut pas y avoir de contrainte normale pour des fibres de direction y ou z. Autrement dit : σ_yy=0 et σ_zz=0